卡尔曼滤波是一种高效的递归（自回归）滤波器。能够从一系列的不完全及包含噪声的测量中，估计动态系统的状态。卡尔曼滤波会根据各测量值在不同时间下的值，考虑各时间下的联合分布，再产生对未知变量的估计，因此会比只以单一测量值为基础的估计方式要准^{[1]}。
卡尔曼滤波示例
示例1^{[2]}
简单来说，卡尔曼滤波就是有多个不确定的结果，经过分析、推理和计算，获得相对准确的结果。
假设一辆车，从原点出发以2m/s匀速自西向东直线运动。t-1时刻位于原点正东6m处，t时刻雷达测得车距离原点东9m处。已知车匀速直线运动，运动模型方差 \theta_q^2=4(m^2)，雷达距离方差 \theta_r^2=1(m^2)。问：当前小车距原点何处？或者问：小车距离原点何处可能性最大？
关于方差，一般方差的单位是测量值单位的平方。位置的单位为m时，那么其方差的单位应为m^2。方差的单位其实没有什么意义，而且此处方差的单位和平方米并非一个概念。
根据匀速直线运动方程，t时刻车应距离原点以东x_t=8m，称之为预测值。此模型并未考虑阻力和t-1时刻速度和t-1时刻位置准确性等因素。对于雷达测量的z_t=9m，称为观测值，由于测量仪器本身存在误差，也不完全准确。
那么如何利用预测值和观测值获取更准确的位置？一种方法是取两者均值，即二者均50%权重，结果为8.5m。但这并未利用二者的方差，方差越大代表结果可信度越低。因此方差越大的值，应该具有更低的权重。因此使用公式：
上述公式也是卡尔曼滤波最优值的更新公式。
示例2^{[5]}
假设一个车辆在时刻 t 的位置和速度状态 x_t。
其中位置p_t
速度状态v_t
通过上面两个公式，可以看到 p_t 以及 v_t 是输入变量的线性组合。因此也可以写为矩阵格式。
公式可以简化为卡尔曼滤波中第一个公式，即状态预测公式：
其中 F_t 为状态转移矩阵，表示如何从上一时刻 t-1 的状态来推测当前时刻的状态，B_t 为控制矩阵，表示控制量 u 如何作用于当前状态。上述 x 的 \hat {} 表示这是一个估计值，^- 上标是 x 的上标而非 t 的，表示这个估计值是根据上一时刻的状态推测而来。在后面会根据观测量来修正 \hat{x}^-_t，然后才能得到最优估计值。
在KF中，不确定性用状态协方差矩阵 P 表示，为了让不确定性在时刻间传递，使用 P_t^- = FP_{t-1}F^T 来表示，即两边乘以状态转移矩阵 F。这是根据协方差矩阵的性质： cov(Ax, Bx) = Acov(x,x)B^T 得来的。为了表示预测模型本身的噪声，在后面再加入一个状态转移协方差矩阵 Q，即
这也是卡尔曼滤波的第二个公式，表示不确定性在各个时刻间的传递。前两个公式是通过上一时刻的状态来预测当前时刻的状态。
然后，假设我们使用一个观测器，观测这个汽车的位置 z_t，即观测值。从汽车本身状态 x_t 到 z_t，需要一个观测矩阵 H 来进行线性变换。
在这里，x_t 和 z_t 的维度可以不同，z_t 的观测值只有位置即1个维度，但是 x_t 包含了两个维度，因此可以假设 H = [1 \quad 0]，当 x_t 和矩阵 H 相乘可以得到标量 z_t。可以得到公式 z_t=Hx_t +v，由于观测值也存在误差，因此引入了观测噪声 v，其协方差矩阵用观测噪声方差矩阵 R 来表示。
根据上面得到的 \hat{x}^-_t，得到最优估计值公式（第四个公式，第三个公式在后面）：
公式中 z_t - H \hat{x}^-_t 表示实际观测值和预测的观测值的残差。
残差是指观察值与模型估计值之间的差
K_t 为卡尔曼系数，其作用是权衡 预测状态协方差 P 和 观察值协方差 R 的大小来决定预测模型与观察模型的权重。以及把残差的表现形式从观察域转换到状态域。
卡尔曼系数的计算公式（第三个公式）为：
最后，更新最佳估计值的噪声分布（第五个公式），留给下一轮迭代使用：
状态的不确定性是减小的，下一轮迭代中由于传递噪声的引入，不确定性又会增大。KF就是在不确定性变化中寻找平衡。
原理推导
（线性）卡尔曼滤波的应用基于以下三个假设前提：
- 当前时刻状态只和上一时刻状态有关。
- 模型和系统均满足线性关系。
- 引入的噪声符合高斯分布。
对于和多时刻状态有关、非线性、非高斯问题，不能简单地使用卡尔曼滤波。
先说明一下卡尔曼滤波中涉及到的各个值：
- 真实值 True Value：系统状态的实际情况，一般是未知的。要知道就用不着KF了。如：车辆的真实速度30kph。
- 观测值 Measurement：通过传感器或其他手段获取的信息，但是会存在误差。如：速度传感器获取的速度28kph。
- 预测值 Prediction：根据上一时刻的估计值和系统动态模型预测到当前时刻的状态，也会存在误差。如：根据上一时刻估计的速度和加速度，预测得到当前时刻的速度。上一时刻估计值Estimation为29kph，加速度为0，那么预测车速仍为29kph。
- 估计值 Estimation：卡尔曼滤波的输出，基于观测值Measurement和预测值Prediction的加权，目的是尽可能接近真实值True Value。如：根据观测值Measurement和预测值Prediction加权，估计值Estimation计算为28.5kph。
过程模型：
测量模型：
x_k 表示 k 时刻真实值，即待估计值。如位置、速度等。
x_{k-1} 表示 k-1 时刻的真实值。
u_{k-1} 表示 k-1 时刻的控制输入量，如加速度。
w_k 表示过程噪声，p(w_k) \sim N(0,Q)，即符合均值为0，协方差矩阵为Q的高斯噪声分布。
z_k 表示 k 时刻的观测值，如雷达或GPS测量结果，维度可能和 x_k 相同，也可能不同，如 x_k 包含位置和速度，但是测量结果只有位置信息。
v_k 表示测量噪声，和 w_k 类似，p(v_k) \sim N(0,R)。
F、B、H分别表示状态转移矩阵，控制矩阵，观测转移矩阵。
卡尔曼滤波黄金五条公式
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参考文章
[2] 深入浅出理解卡尔曼滤波【实例、公式、代码和图】 - 知乎
[3] Kalman滤波通俗理解+实际应用_卡尔曼滤波应用实例-CSDN博客